Standar Isi Matematika SMP/MTs dan SMA/MA

Satuan Pendidikan    : Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)

Mata Pelajaran          : Matematika

A.  Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit.  Untuk menguasai dan mencipta teknologi di masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini.

Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif.

Standar kompetensi dan kompetensi dasar matematika dalam dokumen ini disusun sebagai landasan pembelajaran untuk mengembangkan kemampuan tersebut di atas. Selain itu dimaksudkan pula untuk mengembangkan kemampuan menggunakan matematika dalam pemecahan masalah dan mengkomunikasikan ide atau gagasan dengan menggunakan simbol, tabel, diagram, dan media lain.

Pendekatan pemecahan masalah merupakan fokus dalam pembelajaran matematika yang mencakup masalah tertutup dengan solusi tunggal, masalah terbuka dengan solusi tidak tunggal, dan masalah dengan berbagai cara penyelesaian. Untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah perlu dikembangkan keterampilan memahami masalah, membuat model matematika, menyelesaikan masalah, dan menafsirkan solusinya.

Dalam setiap kesempatan, pembelajaran matematika hendaknya dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau media lainnya.

B. Tujuan

Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.

1.      Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah

2.      Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan  matematika

3.      Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh

4.      Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah

5.      Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

 

C. Ruang Lingkup

Mata pelajaran Matematika pada satuan pendidikan SMP/MTs meliputi aspek-aspek sebagai berikut.

1.      Bilangan

2.      Aljabar

3.      Geometri dan Pengukuran

       4.   Statistika dan Peluang.

 D. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar

Kelas VII,  Semester 1

Standar Kompetensi	Komptensi Dasar
Bilangan 1.   Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah	1.1    Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan 1.2    Menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat dan pecahan dalam pemecahan masalah
Aljabar 2.   Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel	2.1   Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya  2.2   Melakukan operasi pada bentuk aljabar 2.3   Menyelesaikan persamaan linear satu variabel 2.4   Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel
3.   Menggunakan bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, dan perbandingan dalam pemecahan masalah	3.1   Membuat model matematika dari masalah  yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel 3.2   Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel 3.3   Menggunakan konsep aljabar dalam pemecahan masalah aritmetika sosial yang sederhana 3.4   Menggunakan perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai dalam pemecahan masalah

Kelas VII,  Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah	4.1   Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya 4.2   Memahami konsep himpunan bagian 4.3   Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan 4.4   Menyajikan himpunan dengan diagram Venn 4.5   Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
Geometri 5. Memahami hubungan garis dengan garis, garis dengan sudut, sudut dengan sudut, serta menentukan ukurannya	5.1    Menentukan hubungan antara dua garis, serta besar dan jenis sudut 5.2    Memahami sifat-sifat sudut yang terbentuk jika dua garis berpotongan atau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain 5.3    Melukis sudut 5.4    Membagi sudut
6. Memahami konsep segi empat dan segitiga serta menentukan ukurannya	6.1   Mengidentifikasi sifat-sifat segitiga berdasarkan sisi dan sudutnya 6.2   Mengidentifikasi sifat-sifat persegi panjang, persegi, trapesium, jajargenjang, belah ketupat dan layang-layang 6.3   Menghitung keliling dan luas bangun segitiga dan segi empat serta menggunakannya dalam pemecahan masalah 6.4   Melukis segitiga, garis tinggi, garis bagi, garis berat dan garis sumbu

Kelas VIII,  Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus	1.1 Melakukan operasi aljabar 1.2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya 1.3 Memahami konsep relasi dan fungsi 1.4 Menentukan nilai fungsi 1.5 Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius 1.6 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus
2. Memahami sistem persa-maan linear dua variabel  dan menggunakannya dalam pemecahan masalah	2.1 Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel 2.2 Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel 2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya
Geometri dan Pengukuran 3. Menggunakan Teorema Pythagoras dalam pemecahan masalah	3.1 Menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku 3.2 Memecahkan masalah pada bangun datar yang berkaitan dengan Teorema Pythagoras

Kelas VIII,  Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Geometri dan Pengukuran 4. Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya	4.1 Menentukan unsur dan bagian-bagian lingkaran 4.2 Menghitung keliling dan luas lingkaran 4.3 Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah 4.4 Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran 4.5 Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga
5. Memahami sifat-sifat kubus, balok, prisma, limas, dan bagian-bagiannya, serta menentukan ukurannya	5.1 Mengidentifikasi sifat-sifat kubus, balok, prisma dan limas serta bagian-bagiannya 5.2 Membuat jaring-jaring kubus, balok, prisma dan limas 5.3 Menghitung luas permukaan dan volume kubus, balok, prisma dan limas

Kelas IX,  Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Geometri dan Pengukuran 1. Memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah	1.1 Mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen 1.2 Mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen 1.3 Menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah
2. Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya	2.1 Mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut dan bola 2.2 Menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut dan bola 2.3 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung, kerucut dan bola
Statistika dan Peluang 3. Melakukan pengolahan dan penyajian data	3.1   Menentukan rata-rata, median, dan modus data tunggal serta penafsirannya 3.2   Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, dan lingkaran
4. Memahami peluang kejadian sederhana	4.1   Menentukan ruang sampel suatu percobaan 4.2   Menentukan peluang suatu kejadian sederhana

Kelas IX,  Semester 2

  

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Bilangan 5. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana	5.1 Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 5.2 Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar 5.3 Memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar
6. Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah	6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana 6.2 Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri 6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri 6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

 

E.  Arah Pengembangan

Standar kompetensi dan kompetensi dasar menjadi arah dan landasan untuk mengembangkan materi pokok, kegiatan pembelajaran, dan indikator pencapaian kompetensi untuk penilaian. Dalam merancang kegiatan pembelajaran dan penilaian perlu memperhatikan Standar Proses dan Standar Penilaian.

LAMPIRAN C: Standar Isi Matapelajaran Matematika SMA/MA.

Satuan Pendidikan    : Sekolah Menengah Atas (SMA)/Madrasah Aliyah (MA)

Mata Pelajaran          : Matematika

A.   Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit.  Untuk menguasai dan mencipta teknologi di masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini.

Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif.

Standar kompetensi dan kompetensi dasar matematika dalam dokumen ini disusun sebagai landasan pembelajaran untuk mengembangkan kemampuan tersebut di atas. Selain itu dimaksudkan pula untuk mengembangkan kemampuan menggunakan matematika dalam pemecahan masalah dan mengkomunikasikan ide atau gagasan dengan menggunakan simbol, tabel, diagram, dan media lain.

Pendekatan pemecahan masalah merupakan fokus dalam pembelajaran matematika yang mencakup masalah tertutup dengan solusi tunggal, masalah terbuka dengan solusi tidak tunggal, dan masalah dengan berbagai cara penyelesaian. Untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah perlu dikembangkan keterampilan memahami masalah, membuat model matematika, menyelesaikan masalah, dan menafsirkan solusinya.

Dalam setiap kesempatan, pembelajaran matematika hendaknya dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau media lainnya. Selain itu, perlu ada pembahasan mengenai bagaimana matematika banyak diterapkan dalam teknologi informasi sebagai perluasan pengetahuan peserta didik.

B.  Tujuan

Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.

6.      Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah

7.      Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan  matematika

8.      Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh

9.      Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah

10.  Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

C.   Ruang Lingkup

Mata pelajaran Matematika pada satuan pendidikan SMA/MA meliputi aspek-aspek sebagai berikut.

4.      Logika

5.      Aljabar

6.      Geometri

7.      Trigonometri

8.      Kalkulus

6.   Statistika dan Peluang.

D. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar

Kelas X, Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma	1.1  Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma 1.2  Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma
2.  Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat	2.1  Memahami konsep fungsi 2.2  Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat 2.3  Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 2.4  Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 2.5  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat 2.6  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya
3. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel	3.1  Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel 3.2  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear 3.3  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya 3.4  Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar 3.5  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel 3.6  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya

Kelas X, Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Logika 4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor	4.1  Menentukan nilai kebenaran dari suatu per-nyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 4.2  Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan 4.3  Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah
Trigonometri 5.  Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah	5.1  Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 5.2  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 5.3  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya
Geometri 6.  Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga	6.1  Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga 6.2  Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga 6.3  Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

Program Ilmu Pengetahuan Alam

Kelas XI, Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Statistika dan Peluang 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah	1.1  Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive 1.2  Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya  1.3  Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya 1.4  Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah 1.5  Menentukan ruang sampel suatu percobaan 1.6  Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
Trigonometri 2.  Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya	2.1  Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu 2.2  Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus 2.3  Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus
Aljabar 3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya	3.1   Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan 3.2   Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi

Kelas XI, Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 4. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah	4.1 Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian 4.2 Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah
5  Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi	5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi 5.2  Menentukan invers suatu fungsi
Kalkulus 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah	6.1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga 6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri 6.3 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 6.4 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 6.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 6.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

Program Ilmu Pengetahuan Alam

Kelas XII, Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Kalkulus 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah	1.1   Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu 1.2   Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana 1.3   Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar
Aljabar 2. Menyelesaikan masalah program linear	2.1     Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2.2     Merancang model matematika dari masalah program linear 2.3     Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah	3.1  Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 3.2  Menentukan determinan dan invers matriks     2 x 2 3.3  Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 3.4  Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah 3.5  Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. 3.6  Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah 3.7  Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

 

Kelas XII, Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah	4.1   Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri 4.2   Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian 4.3   Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret 4.4   Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya
5. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah	5.1   Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah 5.2   Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma 5.3   Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana

Program Ilmu Pengetahuan Sosial

Kelas XI, Semester 1

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Statistika dan Peluang 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

1.1    Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive 1.2    Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya 1.3    Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta menafsirkannya 1.4    Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah 1.5    Menentukan ruang sampel suatu percobaan 1.6    Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

Kelas XI, Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi	2.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi 2.2   Menentukan invers suatu fungsi
Kalkulus 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah	3.1   Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 3.2   Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar 3.3   Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar 3.4   Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah 3.5   Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar 3.6   Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan penafsirannya

Program Ilmu Pengetahuan Sosial

Kelas XII, Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Kalkulus 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana	1.1   Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu 1.2   Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana 1.3   Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva
Aljabar 2. Menyelesaikan masalah program linear	2.1  Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2.2  Merancang model matematika dari masalah program linear 2.3  Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
3. Menggunakan matriks dalam pemecahan masalah	3.1  Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 3.2   Menentukan determinan dan invers matriks   2 x 2 3.3   Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

Kelas XII, Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah	4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri 4.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret 4.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan menafsirkan solusinya

 

Program Bahasa

Kelas XI, Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Statistika dan Peluang 1. Melakukan pengolahan, penyajian dan penafsiran data	1.1  Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta pemaknaannya 1.2  Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta pemaknaannya 1.3  Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data, serta menafsirkannya

Kelas XI, Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Statistika dan Peluang 2.  Menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya	2.1 Menggunakan sifat dan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah 2.2 Menentukan ruang sampel suatu percobaan 2.3  Menentukan peluang suatu kejadian dan menafsirkannya

Program Bahasa

Kelas XII, Semester 1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 1. Menyelesaikan masalah program linear	1.1  Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel 1.2  Merancang model matematika dari  masalah program linear 1.3  Menyelesaikan model matematika dari  masalah program linear dan menafsirkan solusinya
2. Menggunakan matriks dalam pemecahan masalah	2.1  Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 2.2  Menentukan determinan dan invers matriks    2 x 2 2.3  Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

Kelas XII, Semester 2

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar
Aljabar 3  Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah	3.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri 3.2 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret dan menafsirkan solusinya

E.  Arah Pengembangan

Standar kompetensi dan kompetensi dasar menjadi arah dan landasan untuk mengembangkan materi pokok, kegiatan pembelajaran, dan indikator pencapaian kompetensi untuk penilaian. Dalam merancang kegiatan pembelajaran dan penilaian perlu memperhatikan Standar Proses dan Standar Penilaian.

Mengenal Bupul VI (Enam) Desa Belbelland, Kab.Merauke

Assalamualaikum wr.wb
Bupul adalah sebuah wilayah yang letaknya di ujung timur Indonesia, yakni di pulau Papua. Bupul sendiri merupakan lokasi perkampungan penduduk asli dan transmigrasi, berbagai macam suku, adat istiadat dan bahasa daerah bercampur aduk disana, sehingga terciptalah keragaman yang serasi, berbeda namun saling melengkapi.  Saya sendiri adalah termasuk salah satu  putra Bupul, tepatnya di Bupul 6 (enam). 

Bupul Enam  atau nama kampungya adalah Belbelland merupakan sebuah kampung Transmigrasi program pemerintah yang di bangun pada tahun 1993. Kampung ini  terletak di distrik Ulilin jauh ke pedalaman kabupaten Merauke Provinsi Papua, jarak dari kota merauke mencapai +-270 km, belum lagi dengan kondisi jalan yang luar biasa beratnya (karena sebagian jalan belum teraspal), sehingga perjalanan dari Kota Merauke-Bupul bisa sangat menguras tenaga. 

Apabila di lihat dari peta satelite misalnya menggunakan google eart atau peta biasa maka bupul akan terlihat tepat di samping perbatasan Indonesia-Papua New Guinea. karena memang jarak ke PNG sangatlah dekat, tidak perlu menggunakan pesawat ataupun kapal laut dengan ongkos yang mahal, namun bisa di tempuh dengan mengendarai sepeda ataupun jalan kaki saja, jarak tempuh kira-kira 11 jam perjalanan jika berjalan kaki,yang pasti bukan melalui jalan aspal atau tol yang mulus, akan tetapi melalui jalan setapak yang melintasi hutan.
Kami termasuk masyarakat perbatasan, kami juga sering melakukan transaksi jual beli Sembako dan Pakaian antara masyarakat kita dengan masyarakat PNG atau  RUPIAH dengan KINA.Sebagian kecil masyarakat PNG ada yang belanja kebutuhan sehari-hari mereka di Indonesia atau tepatnya di wilayah Sota dan Bupul,bahkan ada juga yang bersekolah di sana. Alasanya jarak tempuh lebih dekat di banding mereka pergi ke kota yang ada di PNG serta di anggap barang-barang lebih murah di Indonesia, dalam perkembanganya kini telah di bangun kantor untuk melayani pasport bagi pelintas batas yang menggunakan jalan di bupul serta telah di tempatkan pos-pos TNI yang bertugas menjaga keamanan di perbatasan.
Bupul sendiri tendiri dari 14 kampung (1 Bupul kampung dan 13 Bupul transmigran), Untuk mengenali antara satu kampung dan kampung lainya memiliki nama yang berbeda-beda serta memiliki jarak yang berjauhan antara 5 hingga 8 kilometer, pemisahnya adalah hutan belantara yang masih asli.
Saya termasuk salah satu penduduk yang mengawali  sebagai penghuni BUPUL 6,hingga saat ini saya masih setia tinggal di kampung ini.
Walaupun saya suku jawa akan tetapi daging dan darah yang mengalir di tubuh saya adalah dari tanah dan air Papua. oleh sebab itu jiwa saya telah menyatu dengan alamnya, kini bupul banyak menghasilkan sumberdaya alam dan sumber daya manusia yang bisa di kembangkan.  Bupul terkenal dengan penghasil buah-buahan dan tanaman palawija serta sayur-sayuran. meski demikian di sana tidak ada tempat pemasaran yang memadai, serta tidak adanya pembinaan terhadap para petani guna mengarahkan atau memberi contoh bagaimana cara bercocok tanam yang baik dan mendapatkan hasil yang melimpah.

Masyarakat yang ada di bupul mayoritas bekerja sebagai petani tradisional dengan peralatan yang sangat sederhana dan hanya untuk memenuhi kebutuhan mereka sehari-hari, Komoditas yang di geluti masyarakat adalah antara lain Tanaman Padi, Buah-buahan dan Sayuran, di samping itu ada juga yang masyarakat bekerja sebagai tukang kayu, buruh pabrik kelapa sawit, padagang dan lain sebagainya.
Seperti halnya warga perbatasan yang lain di Indonesia , Kami Masyarakat Bupul-Muting dan sekitarnya rata-rata memiliki kehidupan sederhana bahkan dapat di katakan kehidupan masyaraktnya secara umum belum sejahtera.

Harapan saya sebagai penulis dan sebagai warga masyarakat perbatasan , Semoga dengan adanya program-progam pemerintah tentang Pengembangan daerah perbatasan dan daerah tertinggal bisa memberi dampak yang signifikan, agar supaya taraf hidup masyarakat perbatasan dan daerah tertinggal bisa terdongkrak naik seperti halnya di daerah lain. "Indonesia adalah Papua & Papua adalah Indonesia" 
 "IZAKOD BEKAI, IZAKOD KAI" ="SATU HATI, SATU TUJUAN"

Teori Belajar Dienes

Zoltan P. Dienes, yang dididik di Hungaria,  Perancis dan Inggris, telah menggunakan minat dan pengalamannya dalam pendidikan matematika dan dalam belajar psikologi untuk mengembangkan suatu sistem pembelajaran matematika. Sistem tersebut, yang sebagian didasarkan pada psikologi belajar Piaget, dikembangkan dalam usaha untuk membuat matematika lebih menarik dan lebih mudah untuk dipelajari.

B.     Konsep Matematika

Dienes memandang matematika sebagai penyelidikan tentang struktur, pengklasifikasian struktur, memilah-milah hubungan di dalam struktur,  dan membuat kategorisasi hubungan-hubungan di antara struktur-struktur. Ia yakin bahwa setiap konsep (atau prinsip) matematika dapat dipahami dengan tepat hanya jika mula-mula disajikan melalui berbagai representasi konkret/fisik. Dienes menggunakan istilah konsep untuk menunjuk suatu struktur matematika, suatu definisi tentang konsep yang jauh lebih luas daripada definisi Gagne. Menurut Dienes, ada tiga jenis konsep matematika yaitu konsep murni matematika, konsep notasi, dan konsep terapan.

Konsep matematis murni berhubungan dengan klasifikasi bilangan-bilangan dan hubungan-hubungan antar bilangan, dan sepenuhnya bebas dari cara bagaimana bilangan-bilangan itu disajikan. Sebagai contoh, enam, 8, XII, 1110 (basis dua), dan Δ Δ Δ Δ, semuanya merupakan contoh konsep bilangan genap; walaupun masing-masing menunjukkan cara yang berbeda dalam menyajikan suatu bilangan genap.

Konsep notasi adalah sifat-sifat bilangan yang merupakan akibat langsung dari cara penyajian bilangan. Fakta bahwa dalam basis sepuluh, 275 berarti 2 ratusan ditambah 7 puluhan ditambah 5 satuan merupakan akibat dari notasi nilai tempat dalam menyajikan bilangan-bilangan yang didasarkan pada sistem pangkat dari sepuluh. Pemilihan sistem notasi yang sesuai untuk berbagai cabang matematika adalah faktor penting dalam pengembangan dan perluasan matematika selanjutnya.

Konsep terapan adalah penerapan dari konsep matematika murni dan notasi untuk penyelesaian masalah dalam matematika dan dalam bidang-bidang yang berhubungan. Panjang, luas dan volume adalah konsep matematika terapan. Konsep-konsep terapan hendaknya diberikan kepada siswa setelah mereka mempelajari konsep matematika murni dan notasi sebagai prasyarat. Konsep-konsep murni hendaknya dipelajari oleh siswa sebelum mempelajari konsep notasi, jika dibalik para siswa hanya akan menghafal pola-pola bagaimana memanipulasi simbol-simbol tanpa pemahaman konsep matematika murni yang mendasarinya. Siswa yang membuat kesalahan manipulasi simbol seperti 3x + 2 = 4 maka x + 2 = 4 – 3,  = x, a² x a³ = a⁶, dan  = x +  berusaha menerapkan konsep murni dan konsep notasi yang tidak cukup mereka kuasai.

Dienes memandang belajar konsep sebagai seni kreatif yang tidak dapat dijelaskan oleh teori stimulus-respon mana pun seperti tahap-tahap belajar Gagne. Dienes percaya bahwa semua abstraksi didasarkan pada intuisi dan pengalaman konkret; akibatnya sistem pembelajaran matematika Dienes menekankan laboratorium matematika, objek-objek yang dapat dimanipulasi, dan permainan matematika.

C.    Tahap-tahap dalam Belajar Konsep Matematika

Dienes yakin bahwa konsep-konsep matematika harus dipelajari secara bertahap yang mirip dengan tahap-tahap perkembangan intelektual Piaget. Ia memandang sebagai aksioma enam tahap mengajar dan belajar konsep matematika yakni (1) bermain bebas, (2) bermain dengan aturan (games), (3) mencari sifat-sifat yang sama, (4) representasi, (5) simbolisasi, dan (6) formalisasi.

Tahap 1. Bermain Bebas

Tahap bermain bebas dari belajar konsep terdiri dari kegiatan-kegiatan yang tidak distrukturkan dan tidak diarahkan yang membolehkan para siswa untuk bereksperimen dengan dan memanipulasi representasi fisik dan asbstrak beberapa unsur dari konsep yang dipelajari. Tahap belajar konsep ini hendaknya dibuat sebebas dan tak terstruktur mungkin; akan tetapi guru hendaknya menyediakan bahan-bahan yang sangat bervariasi untuk dimanipulasi para siswa. Akan tetapi periode bermain bebas yang tanpa aturan ini mungkin dinilai rendah nilainya oleh guru yang terbiasa mengajar matematika menggunakan metode yang sangat terstruktur, namun ini merupakan tahap penting dalam belajar konsep. Di sini para siswa mengalami untuk pertama kalinya berhubungan dengan banyak komponen dari konsep baru melalui interaksi dengan lingkungan belajar yang berisi banyak representasi konkret dari konsep itu. Pada tahap ini para siswa membentuk struktur mental dan sikap yang menyiapkan mereka untuk mengerti struktur matematis suatu konsep.

Tahap 2. Games

Setelah periode bermain bebas dengan banyak representasi suatu konsep, para siswa akan mulai mengamati pola-pola dan keteraturan yang melekat pada konsep itu. Mereka memperhatikan bahwa aturan-aturan tertentu menentukan suatu kejadian, bahwa beberapa hal adalah mungkin dan bahwa hal lainnya tidak mungkin. Sekali siswa telah menemukan aturan-aturan dan sifat-sifat yang menentukan suatu kejadian, mereka siap untuk memainkan games, bereksperimen dengan mengubah aturan permainan yang dibuat oleh guru dan membuat permainan mereka sendiri. Games memungkinkan para siswa bereksperimen dengan berbagai parameter dan variasi dalam suatu konsep dan untuk mulai menganalisis struktur matematis suatu konsep. Berbagai permainan dengan representasi yang berbeda tentang suatu konsep akan membantu para siswa menemukan unsur-unsur logis dan matematis suatu konsep.

Tahap 3. Mencari Sifat yang sama

Bisa terjadi setelah memainkan beberapa games menggunakan representasi fisik yang berbeda dari suatu konsep, para siswa mungkin tidak menemukan struktur matematis yang ada pada semua representasi konsep itu. Sebelum para siswa menyadari adanya sifat-sifat yang sama dalam representasi-representasi itu, mereka tidak akan dapat mengklasifikasi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep. Dienes menyarankan agar para guru dapat membantu para siswa melihat struktur yang sama dalam contoh-contoh konsep itu dengan menunjukkan kepada mereka bahwa setiap contoh dapat dijelmakan ke dalam setiap contoh lain tanpa mengubah sifat-sifat abstrak yang sama pada semua contoh. Seperti halnya untuk menunjukkan sifat-sifat yang sama yang ditemukan dalam setiap contoh dengan memikirkan beberapa contoh pada saat yang sama.

Tahap 4. Representasi

Setelah para siswa mengamati unsur-unsur yang sama dalam setiap contoh konsep, mereka perlu mengembangkan, atau menerima dari guru, representasi tunggal konsep itu yang meliputi semua unsur yang sama yang ditemukan dalam setiap contoh. Para siswa memerlukan representasi dengan tujuan untuk menunjukkan unsur-unsur yang sama yang terdapat dalam semua contoh konsep. Suatu representasi konsep biasanya lebih abstrak daripada contoh-contoh dan akan membawa para siswa lebih dekat kepada pemahaman struktur matematis abstrak yang mendasari konsep itu. Contoh kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal poligon (misal segi dua puluh tiga) dengan pendekatan induktif. 

Gambar 1. Gambar diagonal suatu poligon

Tahap 5. Simbolisasi

Pada tahap ini siswa perlu merumuskan dengan kata-kata yang sesuai dan simbol-simbol matemais untuk mendeskripsikan representasi konsepnya. Baik sekali jika siswa dapat menciptakan representasi simbolik mereka sendiri untuk setiap konsep; akan tetapi, untuk tujuan konsistensi dengan buku teks, guru hendaknya campur tangan dalam pemilihan sisem simbol oleh siswa. Pada awalnya lebih baik para siswa diperbolehkan membuat representasi simbolik mereka sendiri, dan selanjutnya mintalah mereka membandingkan simbolisasi mereka dengan simbolisasi dalam buku teks. Para siswa hendaknya ditunjukkan pentingnya sistem simbol yang baik dalam memecahkan masalah, membuktikan teorema, dan dalam menjelaskan konsep-konsep. Sebagai contoh, teorema Pythagoras akan lebih mudah diingat dan digunakan jika ia disajikan secara simbolis sebagai a² + b² = c², daripada secara verbal sebagai ”untuk segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain.”

Tahap 6. Formalisasi

Setelah para siswa mempelajari suatu konsep dan struktur matematis yang berkaitan,  mereka harus mengurutkan sifat-sifat konsep itu dan memikirkan akibatnya. Sifat-sifat utama dalam suatu struktur matematis merupakan aksioma-aksioma suatu sistem. Sifat-sifat yang diturunkan adalah teorema, dan prosedur dari aksioma untuk mencapai teorema adalah bukti matematis. Pada tahap ini para siswa menyelidiki akibat-akibat suatu konsep dan menggunakan konsep untuk menyelesaikan soal-soal matematika murni dan terapan.

Pada tahap formalisasi anak tidak hanya mampu merumuskan teorema serta membuktikannya secara deduktif, tetapi mereka sudah mempunyai pengetahuan tentang sistem yang berlaku dari pemahaman konsep-konsep yang terlibat satu sama lainnya. Misalnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan peserta sifat-sifat tertutup, komutatif, asosiatif, adanya elemen identitas, dan mempunyai elemen invers, membentuk sebuah sistem matematika.

Menurut Dienes, variasi sajian hendaknya tampak berbeda antara satu dan lainya sesuai dengan prinsip variabilitas perseptual (perseptual variability), sehingga anak didik dapat melihat struktur dari berbagai pandangan yang berbeda-beda dan memperkaya imajinasinya terhadap setiap konsep matematika yang disajikan. Berbagai sajian (multiple embodiment) juga membuat adanya manipulasi secara penuh tentang variabel-variabel matematika. Variasi matematika dimaksud untuk membuat lebih jelas mengenai sejauh mana sebuah konsep dapat digeneralisasi terhada konteks yang lain. Dengan demikian, semakin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan dalam konsep tertentu, semakinjelas bagi anak dalam memahami konsep tersebut.

Berhubungan dengan tahap belajar, suatu anak didik dihadapkan pada permainan yang terkontrol dengan berbagai sajian. Kegiatan ini menggunakan kesempatan untuk membantu anak didik menemukan cara-cara dan juga untuk mendiskusikan temuan-temuannya. Langkah selanjutnya, menurut Dienes, adalah memotivasi anak didik untuk mengabstraksikan pelajaran tanda material kongkret dengan gambar yang sederhana, grafik, peta dan akhirnya memadukan simbolo-simbol dengan konsep tersebut. Langkah-langkah ini merupakan suatu cara untuk memberi kesempatan kepada anak didik ikut berpartisipasi dalam proses penemuan dan formalisasi melalui percobaan matematika. Proses pembelajaran ini juga lebih melibatkan anak didik pada kegiatan belajar secara aktif darinpada hanya sekedar menghapal. Pentingnya simbolisasi adalah untuk meningkatkan kegiatan matematika ke satu bidang baru.

Games

Dienes yakin bahwa permainan merupakan alat yang bermanfaat untuk mempelajari konsep-konsep matematis melalui enam tahap perkembangan konsep. Ia menyebut permainan yang dimainkan pada tahap permainan yang tak diarahkan, di mana para siswa melakukan sesuatu untuk kesenangan mereka sendiri, permainan pendahuluan. Permainan pendahuluan selalu informal dan tak terstruktur dan bisa dibuat oleh para siswa dan dimainkan secara individual atau kelompok. Pada tahap pertengahan belajar konsep, di mana para siswa mengelompokkan unsur-unsur suatu konsep, permainan terstruktur bisa menolong. Permainan terstruktur dirancang untuk tujuan belajar tertentu dan bisa dikembangkan oleh guru atau dibeli dari perseroan yang memproduksi bahan-bahan kurikulum matematika. Pada tahap akhir perkembangan konsep, ketika para siswa sedang memantapkan dan menggunakan suatu konsep, permainan praktik bisa menolong. Permainan praktik dapat digunakan sebagai latihan praktik dan dril, untuk meninjau konsep, atau sebagai cara untuk mengembangkan penerapan konsep.

D.    Penerapan Teori Dienes dalam Pembelajaran

Dalam menerapkan enam tahap belajar konsep dari Dienes untuk merancang pembelajaran matematika, mungkin suatu tahap (bisa tahap bermain bebas) tidak cocok bagi para siswa atau kegiatan-kegiatan untuk dua atau tiga tahap dapat digabung menjadi satu kegiatan. Mungkin perlu dirancang kegiatan-kegiatan belajar khusus untuk setiap tahap jika kita mengajar siswa-siswa SD kelas rendah; tetapi untuk siswa-siswa SMP dimungkinkan menghilangkan tahap-tahap tertentu dalam mempelajari beberapa konsep. Model mengajar matematika dari Dienes hendaknya diperlakukan sebagai pedoman, dan bukan sekumpulan aturan yang harus diikuti secara ketat.

Konsep perkalian bilangan bulat negatif akan dibahas di sini sebagai contoh bagaimana tahap-tahap Dienes dapat digunakan sebagai pedoman dalam merancang kegiatan mengajar/belajar. Karena hampir semua siswa belajar menambah, mengurang, mengalikan dan membagi bilangan-bilangan asli, dan menambah dan mengurang bilangan-bilangan bulat sebelum belajar mengalikan bilangan bulat, kita berasumsi bahwa konsep-konsep dan keterampilan-keterampilan itu telah dikuasai oleh para siswa.

Bagi para siswa kelas 6 atau 7, dapat mulai sesi permainan bebas dengan secara informal mendiskusikan pengerjaan hitung pada bilangan asli dan sifat-sifat aljabar dari bilangan asli. Guru mungkin juga mendiskusikan penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat dan sifat pertukaran dan pengelompokan penjumlahan. Guru bisa juga mengganti permainan bebas dengan tinjauan informal. Atau tahap bermain bebas dan game bisa digabung menjadi beberapa permainan seperti permainan kartu sederhana berikut: guru hendaknya menyiapkan meja panjang secukupnya untuk permainan kartu standar sedemikian hingga terdapat satu meja panjang untuk setiap lima siswa dalam kelas. Para siswa yang bermain dalam kelompok lima orang dan setiap anak memegang empat kartu. Setiap siswa mengelompokkan kartu-kartunya menjadi berpasang-pasangan, kemudian mengalikan kedua bilangan yang ditunjukkan oleh setiap pasang kartu, dan kemudian menjumlahkan kedua hasilkali itu. Siswa yang dapat memasangkan kartu-kartunya sehingga memperoleh jumlah hasilkali terbesar adalah pemenang dalam kelompoknya. Bilangan-bilangan pada kartu hitam dianggap sebagai bilangan positif, dan bilangan-bilangan pada kartu merah (hati dan belah ketupat) sebagai bilangan negatif. Konsekuensinya para siswa langsung dihadapkan pada masalah bagaimana mengelompokkan kartu-kartu negatif untuk mendapatkan hasil kali dan jumlah positif yang besar. Beberapa kelompok mungkin menyepakati aturan-aturan yang berbeda untuk menangani hasilkali dua bilangan negatif. Sebagai contoh, kartu hitam 2 dan 4 dan kartu merah 7 dan 5 dapat digunakan untuk membuat 2 x 4 + (-7 x -5) = 43, jika aturan yang benar bahwa hasilkali dua bilangan bulat negatif adalah suatu bilangan bulat positif telah dirumuskan. Jika tidak, maka bilangan-bilangan negatif tidak akan menolong dalam mengorganisasi seorang pemenang. Beberapa siswa tentunya akan saling bertanya atau bertanya kepada guru tentang bagaimana menyekor bilangan bulat negatif.

Untuk memutuskan bagaimana menyelesaikan perkalian dua bilangan negatif, guru hendaknya menyajikan sekumpulan soal yang melibatkan mencari pola (sifat yang sama). Sebagai contoh, soal-soal ini dapat didiskusikan di kelas:

1. Selesaikan daftar berikut:

-3 x 3 = -9

-3 x 2 = -6

-3 x 1 = -3

-3 x 0 = 0

-3 x -1 = ?

-3 x -2 = ?

-3 x -3 = ?

2. -3 x (7 + -2) = (-3 x 7) + (-3 x -2) = -21 +  ?

tetapi -3 x (7 + -2) = -3 x 5 = -15.

 jadi bilangan berapakah    ?    ?

Sebagai guru matematika, kamu dapat menyusun contoh-contoh lain yang menunjukkan bahwa hasilkali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

Tahap representasi untuk membentuk konsep perkalian dua bilangan bulat negatif, para siswa dapat mengamati diagram yang menyajikan konsep itu dan mendeskripsikan sifat umum perkalian dua bilangan bulat negatif.

Dalam tahap simbolisasi, kelas hendaknya menggunakan sistem simbol bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, (-a)(-b) = +ab; dan untuk sebarang bilangan bulat x, y, z, x(y + z) = xy + xz.

Konsep itu dapat diformalkan dengan mengetahui bahwa pernyataan, ”hasilkali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif,” merupakan suatu aksioma.Teorema seperti y x z = z x y dan x(y + z) = xy + xz dapat diwujudkan dan dibuktikan.

DAFTAR PUSTAKA

Teori Belajar Permainan Dienes dalam Pembelajaran Matematika, http://www.masbied.com/2010/03/20/teori-belajar-permainan-dienes-dalam-pembelajaran-matematika/ , diakses tanggal : 1 agustus 2011.

Teori Belajar Dienes, http://satulagi.com/newz/teori-belajar-dienes-2 , diakses tanggal : 30 juli 2011.

Teori Belajar Dienes, http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/PengembanganPembelajaran

Matematika_UNIT_2_0.pdf, diakses tanggal : 30 juli 2011

Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah Dasar, http://www.google.co.id/url?sa=t&source=web&cd=13&ved=0CCAQFjACOAo&url=http%3A%2F%2Fpjjpgsd.dikti.go.id%2Ffile.php%2F1%2Frepository%2Fdikti%2FBA_DIP-BPJJ_BATCH_1%2FPengembangan%2520Pembelajaran%2520Matematika%2520SD%2FPengbm%2520Pembl%2520Mat%2520SD%2520PJJ%2FPengbm%2520Pembl%2520Mat%2520SD%2520PJJ%2FPengemb%2520Pemblj%2520Mat%2520SD%2520PJJ.14%2520Nop%252009.doc&rct=j&q=permainan%20dienes&ei=Cq1ATvGnHYfwrQeHwfXNBw&usg=AFQjCNEy7vNQ1IK891AMUj37cUfu3S1BLg&cad=rja , diakses tanggal : 30 juli 2011.