Pemikiran Filsafat Tentang Matematika

PEMIKIRAN FILSAFAT TENTANG MATEMATIKA

Bidang pengetahuan sebagai perwujudan dari interaksi filsafat dengan matematika yang sangat menarik perhatian filsuf dan/atau ahli matematika disebut dengan berbagai nama, yakni:

·         Philosophy of Mathematics ( Filsafat Matematika)

·         Foundantion of Mathematics (Landasan Matematika)

·         MetaMathematics (Adi- Matematika)

·         Mathematical Philosophy (Filsafat Matematika)

Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematika merupakan hasil pemikiran filsafati yang sasarannya ialah matematika itu sendiri. Filsafat sebagai rangkaian aktivitas dari budi manusia pada dasarnya adalah pemikiran reflektif (reflective thinking). Pemikiran reflektif atau untuk singkatnya refleksi (Reflection) dapat dicirikan sebagai jenis pemikiran yang terdiri atas mempertimbangkan secara cermat  suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang sungguh-sungguh dan terus menerus (the kind of thinking that consists in turning a subject over in the mind ang giving it serious and consecutive consideration)¹².  Suatu pendapat lain yang mirip merumuskannya sebagai pertimbangan cermat secara penuh perhatian beberapa kali terhadap hal yang sama (thinking attentively several times over of the same thing)^13. Dalam sebuah kamus psikologi reflective thinking di anggap sepadan dengan logical thingking (pemikiran logis), yakni aktivitas budi manusia yang di arahkan sesuai dengan kaidah-kaidah logika.¹⁴

Dengan demikian filsafat matematikapada dasarnya adalah pemikiran reflektif terhadap matematik. Metamatika menjadi suatu pokok soal yang di pertimbangkan secara cermat da dengan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif dalam arti menengok diri sendiri untuk memahami bekerjanya budi itu sendiri. Ciri reflektif yang demikian itu di tekankan oleh filsuf inggris R.G Collingwood yang menyatakan “ Philosophy is reflective. The philosophizing mind never simply think about and object; it always, while thingking about ani object, thinks also about its own thought about that object.”¹⁵ (Filsafat bersifat reflektif. Budi yang berfilsafat tidaklah semata-mata berfikir tentang suatu obyek; sambil berpikir tentang suatu obyek, budi itu senantiasa berpikir juga tentang pemikiranya sendiri mengenai obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek-obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga menumbuhkan filsafat matematika agar memperoleh pemahaman apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.

Di antara ahli-ahli matematika da para filsuf tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan perumusan-perumusan dari 2 buku matematika dan 2 kamus filsafat yang berikut :

1.      “A philosophy of mathematics migth be described as a view point from which the various bits and pieces of mathematics can be organized and unified by some basic priciples.”¹⁶

(Suatu filsafat matematika dapatlah di lukiskan sebagai suatu sudut pandang, dari situlah berbagai bagian dan kepingan matematika dapat di susun dan di persatukan berdasarkan beberapa asa dasar).

2.      “In particular, a philosophy of mathematics essentially amounts to an attempted recontruction in which the chaotic mass of mathematical knowledge accumulated over the ages is given a certain sense or order.”¹⁷

(Secara khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahuan matematika yang kacau-balau yang terhimpun selama berabad-abad diberi suatu makna atau ketertiban tertentu).

3.      “The study of the concepts of and justification for the principles used in mathematics.”¹⁸

(Penelaahan tentang konsep-konsep dari dan pembenaran terhadap asas-asas yang di pergunakan dalam matematika).

4.      “ The study of concept and system appearing in mathematics, and of the justification of mathematical statements.”¹⁹

(Penelaahan tentang konsep-konsep dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap peryataan-peryataan matematika).

Dua pendapat yang pertama dari ahli-ahli matematika menitik-beratkan filsafat matematika sebagai usaha menyusun dan menertibkan bagian-bagian dari pengetahuan matematika yang selama ini terus berkembang biak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep-konsep dalam matematika sebagai studi tentang konsep-konsep dalam matematika dan pembenaran terhadap asas atau peryataan matematika.

Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth di samping itu matematika sendiri dan filsafat umum harus pula di bedakan adanya 2 bidang pemikiran lainnya, yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas (philosophy of mathematics in a broader sence) dan penelitian mengenailandasan matematika (foundantion of mathematics).²⁰ Landasan Matematika kadang-kadang di persamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Tetapi sesungguhnya landasan matematika merupakan bidang pengetahuan yang lebih sempit daripada filsafat matematika. Foundantions of mathematics khususnya bersangkut paut dengan konsep-konsep dan asas-asas fundamental (fundamental concepts and principles) yang dipergunakan dalam matematika. Denagan demikian kedua definisi philosophy of mathemtics dari kamus-kamus filsafat tersebut di atas lebih merupakan batasan dari pengertian landasan matematika. Charles Parsons dalam The Encyclopedia of Philosophy menegaskan :²¹

“Foundantional research has always been concerned with the problem of justifying mathematical statements and principles, with understanding why certain evident propositions are evident, with providing the justifycation of accepted principles which seem not quite evident, and with finding and casting off principles which are unjustified”.

(Penelitian landasan senantiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap peryataan-peryataan dan asas-asas matematika, dengan pemahaman mengapa proposisi-proposisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, dengan pemberian pembenaran terhadap asas-asas yang yang telah diterima yang tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penanggalan asas-asas yang tak terbenarkan).

Dari konsep pokok dan prinsip dasar foundantions of mathematics meneruskan penelaahannya sehingga sampai pada sifat alami (nature) dari matematika dan bahkan juga tentang metode matematika. Hal ini di tegaskan dalam Encyclopedia Britannica sebagai berikut:²²

“The study of the foundantions of mathematics has dealt with the concepts, and the assumptions about those concepts, with which mathematics start. Especially since 1990, foundantional investigations have come to include also an inquiry into the nature of mathematical theories and the scope of mathematical methods”.

(Penelaahan tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep-konsep dan patokan-patokan pikir  mengenai konsep-konsep itu yang denganya matematika bermula. Khususnya setelah tahun 1900 penyelidikan-penyelidikan landasan berlangsung hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alami dari teori-teori matematika dan lingkupan dari metode-metode matematika.)

Dengan adanya perluasan poko soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundantions of mathematics. Tetapi seperti telah dinyatakan di muka landasan matematika sesungguhnya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika. Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan ‘foundantions’ bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami yang mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics).²³

Dalam abad ke 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematika menumbuhkan 3 mazhab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme, dan intuitionisme. Mazhab logisisme dipelopori oleh filsuf inggris Bertrand Arthur Willian Russel. Dalam 1903 terbitlah buku beliau The Principles Of Mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Dengan demikian matematika dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat di turunkan dari logika. Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan antara matematika dan logika itu sebagai berikut:²⁴

“But both have developed in modern times: logic has become more mathematical and mathematics has become more logical. The consequence is that it has now become wholly impossible to draw a line between the two; in fact, the two are one. They differ as boy and man: logic is the youth of mathematics and mathematics is the manhood of logic.”.

(Tetapi kedua-duanya berkembang dalam zaman modern: logika sudah menjadi bersifat lebih matematis dan matematika menjadi lebih logis. Akibatnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis diantara keduanya; sesungguhnya dua hal itu merupakan satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa: logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa dewasa dari logika).

 Pada tahun 1910-1913 Bertrand Russel bekerja sama dengan Alfred Nort Whitehead mengarang karya tulis raksasa berjudul Principia Mathematica (Asas-asas Matematika) sebanyak tiga jilid, dengan tebal seluruhnya 1992 pagina untuk membuktikan bahwa logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa dewasa dari logika. Pembuktian ini memulai dengan pangkal-pangkal pendapat dari logika dan kemudian dengan deduksi-deduksi tiba pada hasil-hasil yang nyata-nyata termasuk dalam bidang matematika. Sesuatu pengertian matematika seperti misalnya bilangan terbukti dapat di nyatakan dengan istilah-istilah logika atau dalam rangka tetapan-tetapan logika dan segenap sifatnya ditunjukan oleh logika.

Mazhab landasan matematika formalisme di pelopori oleh ahli matematika besar dari jerman David Hilbert. Menurut mazhab ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sistem lambang yang formal. Matematika bersangkutan dengan sifat-sifat strukstural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu.

Simbol-simbol dianggap mewakili pelbagai sasaran yang menjadi obyek matematik. Bilangan-bilangan misalnya dipandang sebagai sifat-sifat struktural yang paling sederhana dari benda-benda. Dengan simbolissme abstrak yang dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukan bentuknya saja mazhab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari berbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung mazhab tersebut merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sistem-sistem formal (Mathematics is the science of formal systems)²³.

Berlawanan dengan mazhab formalisme berkembanglah mazhab intuitionisme yang dipelopori oleh ahli matematika Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematika sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalil-dalil matematika terletak dalam akal manusia (Human Intellect) dan tidak pada simbol-simbol diatas kertas sebagaimana diyakini oleh mazhab formalisme.²⁶ dalam pemikiran mazhab intuitionisme matematika berlandaskan pada suatu ilham dasar (Basic Intuition) mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas. Ilham ini pada hakekatnya merupakan suatu aktivitas berpikir yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, serta bersifat obyektif.

Istilah ‘foundantions’ dalam bidang keilmuan mempunyai makna-makna berlainan. Oleh karena itu untuk kejelasan maknanya kadang-kadang di bubuhi cirinya yang di maksud. Dalam kaitannya dengan matematika orang emnegaskannya dengan istilah ‘logical foundantions of mathematics’ (landasan logis matematika).²⁷ Istilah ‘logical foundantions’. Dapat juga di persamakan dengan ‘Philosophical foundantions’ (landasan filsafati) seperti misalnya dilakukan oleh filsuf Rudolf Carnap (1891-1970). Dengan landasan logis atau filsafati itu, para ahli sesuatu bidang ilmu disadarkan terhadap kemungkinan keterbatasan dan kesalahan dari patokanpikir-patokanpikir yang di pergunakannya sebagai pangkal dalam ilmunya.

Selain landasan matematika yang kadang-kadang secara kurang tepat di persamakan dengan filsafat matematika, ada lagi suatu bidang pengetahuan yang di campur adukkan dengan philosophy of mathematics, yakni metamathematics (adi-matematika). Misalnya Arthur Pap yang menegaskan perbedaan antara mathematics disebut juga “philosophy of mathematics”.²⁸ 

Perkataan Yunani ‘Meta’ berarti diluar, di atas , di balik atau sesudah. Dalam hubunganya dengan suatu cabang ilmu atau bidang pengetahuan awalan meta umumnya diartikan sebagai suatu teori , suatu bahasa, atau suatu uraian yang justru membahas atau memaparkan cabang ilmu yang bersangkutan. Dengan demikian secara harfiah metamathematics memang dapat berarti bidang pengetahuan yang berada di luar atau di atas matematika yang menelaah matematika itu sendiri seperti halnya filsafat matematika. Tetapi menurut asal mulanya dan pertumbuhan selanjutnya  adi matematika dimaksudkan sebagai sebuah teori pembuktian untuk menetapkan ada atau tidaknya konsistensi dalam matematikadan menjawab masalah-masalah lainnya seperti problem keputusan dan kelengkapan dalam suatu sistem formal. Sebagai pangkal perkenalan dapatlah kiranya dikutipkan 4 buah perumusan metamathematics yang berikut:

1.      “The formalization of mathematical proof by mens of a logistic system makes possible an objecive theory of proofs and provability, in which proofs are treated as concrete manipulations of formulas (and no use in made of meanings of formulas). This is Hilbert’s proof theory, or metamathematics.”

(formalisasi dari pembuktian matematika dengan perantaraan suatu sistem logika memungkinkan adanya sebuah teori obyektif tentang pembuktian dan hal dapat dibuktikan yang dalam teori itun pembuktian-pembuktian diperlukan sebagai pengolahan-pengolahan nyata terhadap rumus-rumus—dan tidak dipersoalkan arti dari rumus-rumus itu. Ini merupakan teori pembuktian dari Hilbert atau adi-matematika.)

2.      “Metamathematics is a branch of mathematical logic which studies formal theories and solves problems pertaining to such theories.”

(Adi-Matematika adalah suatu cabang dari logika  matematika yang menelaah teori-teori formal dan memecahkan persoalan-persoalan yang menyangkut teori-teori demikian itu.)

3.      Patrick Suppes merumuskan metamathematics sebagai cabang matematika yang menyelidiki struktur dari sistem-sistem bahasa atau teori-teori yang diformalkan dan hubungannya dengan entitas-entitas matematika lainya (that bruch of mathematics which investigates the structure of formalized languages of theories and their relationship to other mathematical entities.)

4.      “Hilbert and his followers used ideas of this kind to devise a formalized theory of proof, including within it a system of symbolic logic. The aim of the theory was to proof the consistency of the logical structure of ordinary mathematics. Inasmuch as the theory was outside of mathematics, it was termed metamathematics.)

(Hilbert dan para pengikutya memakai ide-ide semacam ini untuk menyusun sebuah teori pembuktian yang diformalkan, termasuk di dalamnya sebuah sistem logika simbolik. Tujuan dari teori ini adalah membuktikan konsistensi dari struktur logis dari matematika biasa. Oleh karena teori ini berada di luar matematika, ini disebut adi-matematika.)

Dari kutipan-kutipan di atas ternyata menurut intinya ada kesatuan pendapat mengenai apa metamathematics itu. Tetapi pelbagai perumusan itu juga menunjukkan suatu perbedaan menyolok, yakni status adi-matematika apakan merupakan suatu teori di luar matematika atau suatu cabang/sistem logika ataukah suatu bagian dari matematika itu sendiri. Ahli matematika Perancis Jean Alexandre Eugène Dieudonné menyatakan bahwa adi-matematika sesungguhnya menrupakan suatu cabang dari matematika terapan, karena perbincangan-perbincangan matematik diterapkan pada obyek berupa kalimat-kalimat dari teori yang diformalkan dan pengaturannya menjadi pembuktian-pembuktian.

Jean Alexandre Eugène Dieudonné

Metamathemtics dipelopori dan diperkembangkan oleh David Hilbert yang juga menjadi pelopor dari mahzap landasan matematika formalosme. Beliau menyusun program untuk memformlakan cabang-cbang matematika biasa. Formalisasi yang ketat ini meliputi penentuan simbol-simbol yang dengan abstraksi sepenuhnya lalu terlepas dari suatu arti tertentu. Rangkaian lambang-lambang yang tersusun baik kemudian menjadi formal-formal atau rumus-rumus untuk memaparkan perbincangan-perbincangan berdasarkan bentuknya (form) saja. Perbincangan dalam bahasa biasa memperunakan kalimat-kalimat yang dipahami berdasarkan artinya. Bagi sesuatu cabang matematika formalisasi yang demikian itu menghasilkan suatu sistem formal (formal system). Sistem formal ini kadang-kadang disebut pula teori formal atau matematika formal. Selanjutnya dalam program Hilbert sisem formal sebagai suatu keseluruhan dijadikan obyek dari suatu studi matematika yang dinamakan adi-matematika atau teori pembuktian. Stephen Cole Kleene dalam buku pengantarnya menegaskan lingkupan adi-matematika itu sebagai berikut :

“Metamathematics includes the description or definition of formal system as well as the investigation of properties of formal system. In dealing with a particular formal system, we many call the system the object theory, and the metamathematics relating to it is metatheory.”

(Adi-matematika meliputi pemaparan atau definisi dari sistem-sistem formal maupun penyelidikan terhadap sifat-sifat dari sistem-sistem formal. Dalam pembahasan terhadap suatu sistem formal khusus, kita dapat menamakan itu teori sasaran dan adi-matematika yang bertalian dengan adi-teorinya.)

 Demikianlah dari uraian di muka ternyatalah bahwa metamathematics juga tidak identik dengan philosophi of mathematics. Seperti halnya foundations of mathematics, adi-mathematics juga lebih terbatas ruang lingkupnya daripada filsafat matematika, yakni menelaah sifat-sifat dari sesuatu sistem formal khususnya matematika untuk membuktikan konsistensi dan kelengkapan dari sesuatu cabang matematika.

Dalam kepustakaan masih ada satu lagi bidang pemikiran filsafati yang bersangkutpaut dengan matematika, yakni mathematical philosophy  yang sebaikya diterjemhkan ke dalam Bahasa Indonesia menjadi filsafat kematematikaan untuk dibedakan dengan filsafat matematika (philosophy of mathematics). Tampaknya memang cukup sulit untuk membedakan mathematical philosophy denga philosophy of mathematics, karena kedua bidang itu sama-sama merupakan pemikiran filsafat. Tetapi suatu pembedaan dapatlah kiranya dilakukan dengan penafsiran mathematical philosophysebagai filsafat berdasarkan matematika, sedangkan tafsiran phylosophy of mathematics ialah filsafat mengenai matematika. Dengan tafsiran yang demikian itu tampaknya kini perbedaan yang lebih jelas antara kedua bidang pemikiran itu. Filsafat kematematikaan sebagai suatu filsafat berdasarkan matematika memakai matematika sebagai pangkal tolak dan sumber ide untuk melakukan pemikiran filsafati. Suatu contoh dari mathematical philosophy misalnya ialah Phythagoreanisme yang di paparkan dalan BAB I di muka. Aliran filsafat ini dengan berpangkal pada bilangan mengemukakan pemikiran filsafati bahwa semua fenomena alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan-perbandingan matematis. Di pihak lain filsafat matematika sebagaimana dinyatakan pada permulaan bab ini merupakan pemikiran filsafati tentang matematika untuk memperoleh pemahaman mengenai segenap segi apa dan bagaimana dari matematika itu.

Usaha untuk memahami segenap aspek dari matematika telah menumbuhkan bidang pengetahuan filsafat matematika yang sangat luas pada dewasa ini. Filsafat matematika merupakan salah satu cabang dari filsafat ilmu-seumumnya (philosophy of science- in general). Dengan demikian persoalan-persoalan dalam filsafat ilmu seumumnya juga mempunyai kaitan dengan filsafat matematika.